Muchas equivocaciones no vienen de derivar mal una potencia, sino de elegir una regla que no corresponde. El primer paso es reconocer cómo está construida la expresión.
Regla del producto
Se usa cuando dos funciones dependen de x y están multiplicándose. Si f(x)=u(x)v(x), entonces f′=u′v+uv′. No alcanza con multiplicar las derivadas.
Ejemplo: para x²·sen(x), derivamos x² manteniendo sen(x), y luego mantenemos x² mientras derivamos sen(x): 2x·sen(x)+x²·cos(x).
Regla del cociente
Se aplica cuando una función está dividida por otra: f′=(u′v−uv′)/v². El orden del numerador importa y el denominador completo queda al cuadrado.
Si el denominador es una potencia simple, a veces conviene reescribirla con exponente negativo y usar producto más cadena. Elegí la forma que deje menos operaciones.
Regla de la cadena
Se usa en composiciones: una función está “dentro” de otra. En (3x²+1)⁵, la exterior es la quinta potencia y la interior es 3x²+1. El resultado es 5(3x²+1)⁴·6x.
Cómo detectar la composición
- Una potencia cuyo interior no es solamente x.
- Un seno, coseno, logaritmo o exponencial con una expresión interna.
- Una raíz que contiene otra función.
Cuando se combinan reglas
En x·e^(x²) hay producto y cadena. Primero aplicás producto; al derivar e^(x²), usás cadena. Las reglas no compiten: se organizan desde la operación exterior hacia las interiores.
Control rápido del resultado
- Encerrá visualmente los factores o el numerador y denominador.
- Nombrá la operación principal.
- Derivá una capa por vez.
- Revisá que cada función interna haya aportado su derivada.